F-тестом или критерием Фишера (F-критерием, φ*-критерием) — называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).

Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на "степени свободы"). Чтобы статистика имела распределение Фишера необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.

Тест проводится путем сравнения значения статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости. Известно, что если , то . Кроме того, квантили распределения Фишера обладают свойством . Поэтому обычно на практике в числителе участвует потенциально большая величина, в знаменателе - меньшая и сравнение осуществляется с "правой" квантилью распределения. Тем не менее тест может быть и двусторонним и односторонним. В первом случае при уровне значимости используется квантиль , а при одностороннем тесте ^[1].

Более удобный способ проверки гипотез - с помощью p-значения - вероятностью того, что случайная величина с данным распределением Фишера превысит данное значение статистики. Если (для двустороннего теста - )) меньше уровня значимости , то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается.

Примеры F-тестов

F-тест на равенство дисперсий

Две выборки

Пусть имеются две выборки объемом m и n соответственно случайных величин X и Y, имеющих нормальное распределение. Необходимо проверить равенство их дисперсий. Статистика теста

где - выборочная дисперсия.

Если статистика больше критического, то дисперсии не одинаковы, в противном случае дисперсии выборок одинаковы

Несколько выборок

Пусть выборка объемом N случайной величины X разделена на k групп с количеством наблюдений в i-ой группе.

Межгрупповая ("объясненная") дисперсия:

Внутригрупповая ("необъясненная") дисперсия:

Данный тест можно свести к тестированию значимости регрессии переменной X на фиктивные переменные-индикаторы групп. Если статистика превышает критическое значение, то гипотеза о равенстве дисперсий в выборках отвергается, в противном случае дисперсии можно считать одинаковыми.

Проверка ограничений на параметры регрессии

Статистика теста для проверки линейных ограничений на параметры классической нормальной линейной регрессии определяется по формуле:

где -количество ограничений, n-объем выборки, k-количество параметров модели, ESS-сумма квадратов остатков модели, -коэффициент детерминации, индексы S и L относятся соответственно к короткой и длинной модели (модели с ограничениями и модели без ограничений).

Замечание

Описанный выше F-тест является точным в случае нормального распределения случайных ошибок модели. Однако F-тест можно применить и в более общем случае. В этом случае он является асимптотическим. Соответствующую F-статистику можно рассчитать на основе статистик других асимптотических тестов - теста Вальда (W), теста множителей Лагранжа(LM) и теста отношения правдоподобия (LR) - следующим образом:

Все эти статистики асимптотически имеют распределение F(q,n-k), несмотря на то, что их значения на малых выборках могут различаться.

Проверка значимости линейной регрессии

Данный тест очень важен в регрессионном анализе и по существу является частным случаем проверки ограничений. В данном случае нулевая гипотеза - об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при факторах регрессионной модели (то есть всего ограничений k-1). В данном случае короткая модель - это просто константа в качестве фактора, то есть коэффициент детерминации короткой модели равен нулю. Статистика теста равна:

Проверка гетероскедастичности

См. Тест Голдфелда-Куандта

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Статистический критерий
• Тест Вальда
• Тест отношения правдоподобия
• Тест множителей Лагранжа
• Тест Голдфелда-Куандта

Примечания