Гармоническое число делителя (число Оре) — положительное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, …^[1].

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5}$

5 является целым числом, а значит 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа

Для любого числа ${\displaystyle M}$ произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу ${\displaystyle M}$, что непосредственно следует из определений. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре с гармоническим средним делителем ${\displaystyle k}$ в том и только в том случае, когда среднее делителей является частным от деления ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle k}$.

Оре показал, что любое совершенное число является гармоническим числом делителя. Так как сумма делителей совершенного числа ${\displaystyle M}$ в точности равна ${\displaystyle 2M}$, среднее делителей равно ${\displaystyle M(2\tau (M))}$, где ${\displaystyle \tau (M)}$ означает число делителей числа ${\displaystyle M}$. Для любого ${\displaystyle M(\tau (M))}$ нечётна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ является полным квадратом, в противном случае каждому делителю ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle M}$ можно сопоставить другой делитель — ${\displaystyle M/d}$. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие есть) должны иметь множитель вида ${\displaystyle q^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}$. Таким образом, для совершенного числа ${\displaystyle M(\tau (M))}$ чётно и среднее делителей является произведением ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle 2/\tau (M)}$. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является гармоническим числом делителя.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных гармонических чисел делителя, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск

Показано, что любое нечётное гармоническое число делителя выше 1 должно иметь степень простого делителя больше 10⁷, а также что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует гармонических чисел делителя, меньших 10²⁴.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых гармонических чисел делителя, в результате были найдены все гармонические числа делителя до 2×10⁹ и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

Примечания

Литература

• Bogomolny, Alexander. An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer. Проверено 10 сентября 2006.

• Cohen, Graeme L. Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean // 10.1090/S0025-5718-97-00819-3.

• Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli Odd harmonic numbers exceed 10²⁴ // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79, вып. 272. — С. 2451. — 0025-5718. — 10.1090/S0025-5718-10-02337-9. Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers. Проверено 10 сентября 2006.

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.

• Joseph B. Muskat On Divisors of Odd Perfect Numbers // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20, вып. 93. — С. 141–144. — 10.2307/2004277.

• Øystein Ore On the averages of the divisors of a number // 10.2307/2305616.

• Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.