Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, … (последовательность A000396 в OEIS).

Примеры

• 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
• 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
• 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
• 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна)^[1]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект OddPerfect.org.

Свойства

• Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: ().
• Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.
• Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2.
• Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
• Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p—1 нулей (следствие из их общего представления).

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, — утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии»^[2] пишет, что в соответствии с гематрией:

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

«Левиафан (буквально „змей изгибающийся“) — это один из четырех Князей Тьмы, воплощенный в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — это значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые с Йесод. Во-вторых, „змей изгибающийся“ может означать и „свернувшийся кольцами змей“, то есть Кундалини. В-третьих, число слова „Левиафан“, равно 496, точно так же как и слова „Малькут“; представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малькут, дает богатую пищу для размышлений. В-четвертых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени „Эль“, божественного имени трех высших сефирот в Брии (в том числе и сефиры Кетер, архангелом которой является Йехоэль)».

В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал^[3]:

"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."

См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Полусовершенные числа
• Открытые математические проблемы
• Магические числа (физика)

Примечания