А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство над полем , снабжённое билинейным отображением

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

• ;
• (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

• Если характеристика поля , то тождество (для любых x) эквивалентно антикоммутативности (так как для скобки Ли всегда ).
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на унитарный K-модуль (модуль над коммутативным кольцом с единицей).

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если  — конечномерное векторное пространство над (), то множество его линейных преобразований  — также векторное пространство над . Оно имеет размерность и может быть представлено как пространство матриц . В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой . Пространство с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают . Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение . Любая подалгебра в называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть  — произвольная ассоциативная алгебра над с умножением: → . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: , это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами:

• Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X

.

• Если на многообразии задана локальная система координат , то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

,

частные производные от функций вдоль направлений t_j.

• выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:

где X, Y — векторные поля, а  — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

• векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре называется линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения . Совокупность всех дифференцирований является векторным подпространством в . Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому  — подалгебра в .

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли . В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида . Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в подалгебру , изоморфную факторалгебре алгебры по её центру .

См. также

• Группа Ли
• Производная Ли
• Дифференциальная геометрия и топология
• Коммутатор операторов

Литература

• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М.: Мир, 1969.
• Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений».
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu).
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. — М.: Мир, 1986. — 174 с..
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003