По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Связанные определения

• Характеристика поля — наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю:
      
  Если такого числа не существует, то характеристика равна по определению.
• Подполем поля называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в . (Подполем поля называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в , несущим множеством которого является подмножество несущего множества )
• Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
• Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
• Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.

Свойства

• Характеристика поля всегда или простое число.
  • Поле характеристики содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .
  • Поле простой характеристики содержит подполе, изоморфное полю вычетов .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно  — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
• Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
• В поле нет делителей нуля.

Примеры множеств, являющихся полями

• — рациональные числа,
• — вещественные числа,
• — комплексные числа,
• — поле вычетов по модулю , где — простое число.
• — конечное поле из элементов, где — простое число, — натуральное.
• — поле рациональных функций вида , где и — многочлены над некоторым полем (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).
• Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.

См.также

• Конечное поле
• Алгебраическая система
• Векторное пространство над полем

Ссылки