Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из в множество классов эквивалентности называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента однозначно определён некоторый класс из , иными словами существует сюръективное отображение из в . Класс, содержащий , иногда обозначают .

Факторпространство по подпространству

Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть  — линейное пространство, а  — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента таких, что , называются эквивалентными. Это обозначается . Получаемое в результате факторизации пространство называют факторпространством по подпространству . Если разлагается в прямую сумму , то существует изоморфизм из в . Если  — конечномерное пространство, то факторпространство также является конечномерным и .

Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Примеры

• Проективную плоскость можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности .
• Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра по отношению эквивалентности ( — угловая координата на окружности).

См. также

• Факторгруппа