Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус ()
• косинус ()

производные тригонометрические функции

• тангенс ()
• котангенс ()

другие тригонометрические функции

• секанс ()
• косеканс ()

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются .

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически^[1]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса с центром в начале координат . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим , ординату обозначим (см. рисунок).

• Синусом называется отношение
• Косинусом называется отношение
• Тангенс определяется как
• Котангенс определяется как
• Секанс определяется как
• Косеканс определяется как

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате , а косинус — абсциссе . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если  — вещественное число, то синусом в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна , аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника^[2]. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
• Косинусом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
• Тангенсом угла называется отношение (отношение противолежащего катета к прилежащему).
• Котангенсом угла называется отношение (отношение прилежащего катета к противолежащему).
• Секансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
• Косекансом угла называется отношение (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализе

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

с дополнительными условиями для косинуса и для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить^[3] как решения ( и соответственно) системы функциональных уравнений:

при дополнительных условиях

и при .

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

где

 — числа Бернулли,

 — числа Эйлера (англ.)русск..

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции  — периодические с периодом , функции и  — c периодом .

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь  — любая тригонометрическая функция,  — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

или что то же самое

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

где  — целая часть числа ,  — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

Суммы

Cуществует представление:

где угол находится из соотношений:

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где

Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

История названий

Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب‎‎ — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — синус дополнения.

Современные краткие обозначения введены Б. Кавальери и Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (нем.)русск. (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также

• Обратные тригонометрические функции
• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции

Литература

• Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
• Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204-206.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
• Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
• Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
• Т. 5. — с. 436.
• Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика/ Ред. коллегия, Гнеденко Б.В. (гл. ред.), Савин А.П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299–301–305. — 352 с., ил. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°–90°, в т.ч. в радианах)
• Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240–258. — 480 с.