Парадоксы электрона — парадоксы классической электродинамики, вытекающие из предположения о точечном характере электрона. Если предположить наличие конечных размеров у электрона, то электрон должен быть либо абсолютно твёрдым, либо сжимаемым телом. Существование абсолютно твердых тел невозможно вследствие требования релятивистской инвариатности теории относительности^[1]. Если предположить, что электрон сжимаем, то должны существовать возбуждённые состояния электрона, а на опыте они не обнаружены^[1].

Электростатическая энергия электрона

Рассматривая электрон как равномерно заряженный шар радиуса ${\displaystyle R}$ с зарядом ${\displaystyle e}$, найдём, что энергия его электростатического поля равна ${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {e^{2}}{R}}}$^[1]. У точечного электрона радиуса ${\displaystyle R=0}$ и энергия электростатического поля бесконечно велика, а, следовательно, бесконечно велика связанная с этой энергией масса.

Объяснение парадокса

Объяснение этого парадокса заключается в том, что классическая электродинамика не применима на достаточно малых расстояниях вследствие того, что при таких условиях она становится внутренне противоречивой теорией. Эти расстояния можно найти из условия примерного равенства энергии электростатического поля ${\displaystyle {\frac {e^{2}}{R_{e}}}}$ энергии покоя электрона ${\displaystyle mc^{2}}$. Получаем ${\displaystyle R_{e}\approx {\frac {e^{2}}{mc^{2}}}}$ (классический радиус электрона). В действительности классическая электродинамика неприменима к рассмотрению электрона вследствие квантовых эффектов с расстояний ${\displaystyle R_{e}\approx {\frac {\hbar }{mc}}}$ (комптоновская длина волны электрона)^[2].

В квантовой электродинамике этот парадокс разрешается путём применения метода перенормировки массы.

Взаимодействие электрона с собственным излучением

Описание взаимодействия электрона с собственным электромагнитным полем в процессе торможения собственным излучением содержит внутренние противоречия. Уравнение движения электрона в отсутствие внешней силы имеет вид ${\displaystyle m{\dot {v}}={\frac {2e^{2}}{3c^{3}}}{\ddot {v}}}$^[3]. Это уравнение кроме тривиального решения ${\displaystyle v=const}$ имеет решение, в котором ускорение ${\displaystyle {\dot {v}}}$ пропорционально ${\displaystyle \exp {\frac {3mc^{3}t}{2e^{2}}}}$ и неограниченно возрастает со временем в противоречии с законом сохранения энергии.

Объяснение парадокса

Истоки этого парадокса заключаются в бесконечной электромагнитной массе электрона. Конечная масса электрона в уравнениях электродинамики означает, что к массе электрона для компенсации бесконечной электромагнитной массы добавлена бесконечная отрицательная масса другого происхождения. Вычитание бесконечностей является не вполне корректной математической операцией и приводит, в том числе, и к данному парадоксу^[4].

Нуль-заряд электрона

Электрон окружен облаком виртуальных электронно-позитронных пар, экранирующих его заряд ${\displaystyle e_{0}}$ (эффект электромагнитной поляризации вакуума). В результате этой экранировки его заряд ${\displaystyle e_{R}}$, наблюдаемый внешним наблюдателем, уменьшается по сравнению с зарядом ${\displaystyle e_{0}}$ "голого" электрона. В результате вычислений с использованием метода перенормировки получаем формулу для связи этих двух величин^[5]: ${\displaystyle e_{R}^{2}=e_{0}^{2}(1+{\frac {e_{0}^{2}}{12\pi ^{2}}}\ln {\frac {L^{2}}{m^{2}}})^{-1}}$. Здесь: ${\displaystyle L}$ - наибольший импульс элементарных частиц, при котором справедливы законы квантовой электродинамики, ${\displaystyle m}$ - масса электрона. Если предположить, что законы квантовой электродинамики выполняются для точечного электрона, то есть при ${\displaystyle L\rightarrow \infty }$, то ${\displaystyle e_{R}^{2}={\frac {12\pi ^{2}}{\ln {\frac {L^{2}}{m^{2}}}}}}$. Таким образом, при ${\displaystyle L\rightarrow \infty }$ получаем ${\displaystyle e_{R}\rightarrow 0}$, то есть обращение в нуль реально наблюдаемого заряда электрона^[6].

На данный парадокс одними из первых обратили внимание учёные из Москвы, поэтому он иногда называется "московским нулем"^[7][8].

Объяснение парадокса

Существуют три различных объяснения этого парадокса.

Одно объяснение считает этот результат следствием неприменимости законов квантовой электродинамики в области больших импульсов и малых расстояний^[6].

Другое объяснение считает этот результат лишь следствием незаконного обращения с бессмысленными выражениями типа полученной формулы для наблюдаемого заряда электрона^[9]

Третье объяснение было дано с построением теории неабелевых калибровочных полей Янга-Миллса и объединением на его основе слабых и электромагнитных взаимодействий.^[10].

Примечания