Правило Бернулли^[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Условия:

1. или ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
3. в проколотой окрестности ;
4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.^[2]

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида .

Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где  — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и  — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где  — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• 
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:

• ;
• при .

В искусстве

...и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

Примечания

1. http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
2. ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216