Логико-вероятностное исчисление - специальный раздел дискретной математики, в котором установлены четкие правила замещения логических аргументов () в функциях алгебры логики вероятностями их истинности и логические операции: конъюнкции (), дизъюнкции (), отрицания () арифметическими операциями: умножения (), сложения (+), вычитания (-)^[1].

История

Дж. Буль опубликовал в 1840 году статью, в которой ввел исчисление истинности высказываний, или булеву алгебру. Эта работа положила начало новой научной дисциплины – математической логики. С. Н. Бернштейн в 1917 г. распространил аксиоматику логики Буля на события и ввел вероятности событий. А. Н. Колмогоров в 1929 году предложил построение аксиоматики теории вероятностей. В.И. Гливенко в 1939 г. обобщил аксиоматики логики, события и вероятности^[2]. Он показал, что для понятия вероятности можно использовать аксиоматику множества и меры.

И.А. Рябинин определил феномен логико-вероятностного исчисления (ЛВ-исчисления) в том, что оно не нашло отражение в математических справочниках и энциклопедиях как научная дисциплина, хотя применяется в различных приложениях.

И.А. Рябинин сформулировал аксиоматику ЛВ-исчисления в надежности и безопасности в технике на основе базовых аксиоматик логики, событий, вероятности и множества. В его аксиоматике элементы имеют два уровня значений (0 и 1), элементы связаны логическими связями И, ИЛИ и НЕ, могут иметься циклы и повторные элементы. Логико-вероятностную модель (ЛВ-модель) риска строят по реальной схеме функционирования системы в виде кратчайших путей успешного функционирования или минимальных сечений отказов, вычисляют весомости и значимости инициирующих событий, логическую функцию приводят к ортогональной форме и заменяют на вероятностную функцию.

ЛВ-исчисление в технологиях управления риском в структурно-сложных технических, экономических и социальных системах использует базовые аксиоматики логики, события, вероятности, множества, аксиоматику И.А. Рябинина. Однако дополнительно рассматриваются события, имеющие не два, а конечное множество значений, статистические данные о появлении и неуспехе событий (состояний) системы^[3][4], а также расширенное определение события.

Особенности

ЛВ-исчисление в технологиях управления риском использует следующие события: события-состояния, события-параметры и события-градации; события неуспеха и события появления состояния; инициирующие и производные события; группы несовместных событий-градаций, события невалидности и валидности; зависимые и независимые события; события в экономике, политике, праве и законах ^[5][6].

ЛВ-исчисление рассматривает системы и процессы как структурно-сложные со случайными событиями и логическими переменными, определяет правила перехода от базы статистических данных к табличной базе знаний, формирует базу знаний в виде систем логических и вероятностных уравнений для состояний системы. ЛВ-исчисление выделяет пять классов ЛВ-моделей риска и эффективности: ЛВ-моделирование, ЛВ-классификация, ЛВ-эффективность, ЛВ-прогнозирование, гибридные сценарные ЛВ-модели риска.

Определены шесть процедур для классов ЛВ-моделей риска: построение ассоциативных, сценарных комплексных, гибридных и динамических ЛВ-моделей риска; идентификация моделей риска по статистическим данным; анализ риска по вкладам инициирующих событий-градаций в хвост распределения параметра эффективности; схемы оперативного и стратегического управления риском системы; прогнозирование в пространствах времени и состояний; синтез и анализ вероятностей событий по нечисловой, неточной и неполной экспертной информации^[7].

С использованием ЛВ-исчисления установлены также правила перехода между ЛВ-моделями классов, введена модификация формулы Байеса для связи вероятностей появления и неуспеха событий, предложена схема обучения и тестирования ЛВ-модели по статистическим данным, обосновано правило раздельного вычисления вероятности и эффективности производных событий.

Научная литература

1. ↑ Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. - 2-е изд. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2007. 276 с. - ISBN 978-5-288-04296-6
2. ↑ Гливенко В. И. Курс теории вероятностей. - М.: ГОНТИ, 1939.
3. ↑ Соложенцев Е. Д. И³-технологии для экономики. – СПб.: Наука, 2011. – 387 с. ISBN 978-5-02-025529-6
4. ↑ Solozhentsev E. D. Risk management technologies with logic and probabilistic models. – Springer: 2012. – 328 p.
5. ↑ Соложенцев E. Д., Карасев В. В. И³-технологии для противодействия взяткам и коррупции. – Проблемы анализа риска, том 7, N 2, 2010. c. 54-65 .
6. ↑ , Соложенцев Е. Д. ВТО и логико-вероятностные модели невалидности сложных систем и процессов. – Журнал экономической теории, N4, 2011. с. 136–147.
7. ↑ Hovanov N., Yudaeva M., Hovanov K. Multicriteria estimation of probabilities on basis of expert non-numeric, non-exact and non-complete knowledge.- European Journal of Operational Research. – 2009, vol. 195, Issue 3, p. 857-863.