Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923, математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

которое можно переписать в виде

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

Φ должна удовлетворять уравнению

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

Тогда амплитуда волновой функции , а фаза — . Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого , чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить и получить

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим и получим

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

Это очевидно, что из-за знаменателя, оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера, частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера, частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота . Вблизи , можно разложить в ряд.

Для первого порядка получим

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

Используя асимптотики данного решения можно найти отношения между и :

Что завершает построение глобального решения.

Литература

• В.Л. Покровский. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• H. Фрёман, П. У. Фрёман. ВКБ-приближение. — M., 1967.
• В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М., 1976.