Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Кинематическое определение

Рассмотрим квадрат (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка равномерно движется по дуге от точки до точки ; одновременно отрезок равномерно движется из положения в положение . Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса и отрезка опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский^[1] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха (V век), софистом Гиппием (V век до н. э.) и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, дал исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия».

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637). Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда.

Уравнения кривой

• В полярных координатах:

• в прямоугольных координатах можно записать уравнение квадратрисы в следующем виде:

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

или:

где Отсюда следует основное свойство данной кривой:

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведенные рассуждения в обратном порядке).

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку на квадратрисе и её ординату .
2. Откладываем на отрезке его третью часть; получим некоторую точку .
3. Находим на квадратрисе точку с ординатой .
4. Проводим луч . Угол  — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

Квадратура круга

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса . Алгебраически это означает решение уравнения: .

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса её нижней точки равна . Выразим это в виде пропорции: , где  — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины . Прямоугольник со сторонами и будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами.

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена):

• Квадратриса Озанама:

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата:

Этот вариант имеет то преимущество, что функция определена на всей вещественной оси, кроме точек , см. её график при на рис. 4. В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой:

См. также

• Динострат
• Квадратура круга
• Трисекция угла

Примечания

Литература

• Жуков А. В.. «О числе π». М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3-15.

Ссылки

• Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive.  (англ.)
• Quadratrix of Hippias at Convergence.  (англ.)