Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нем определена измеримая функция .

Определение 1. Пусть  — индикатор некоторого измеримого множества, то есть , где . Тогда интеграл Лебега функции по определению:

Определение 2. Пусть  — простая функция, то есть , где , а  — конечное разбиение на измеримые множества. Тогда

.

Определение 3. Пусть теперь  — неотрицательная функция, то есть . Рассмотрим все простые функции , такие что . Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от задаётся формулой:

Наконец, если функция произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

где

.

Определение 4. Пусть  — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

.

Определение 5. Пусть наконец произвольное измеримое множество. Тогда по определению

,

где  — индикатор-функция множества .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где  — борелевская σ-алгебра на , а  — мера Лебега. Эта функция принимает значение в рациональных точках и в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

Действительно, мера отрезка равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна .

Замечания

• Так как , измеримая функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  ,

где  — произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если почти всюду, и интегрируема, то интегрируема и , и более того

  ;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если почти всюду, то

  .

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Лемма Фату.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.